题目

（本小题满分12分） 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，E、F分别为AB、PC的中点。 （1）求异面直线PA与BF所成角的正切值。 （2）求证：EF⊥平面PCD。 答案：（12分）解：（1）如图，连结AC 过点F作FO⊥AC，∴面PAC⊥面ABCD ∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAC⊥AC，垂足为O， 连结BO，则FO⊥平面ABCD，且FO//PA。 ∴∠BFO为异面直线PA与BF所成的角………………4分 在Rt△BOF中，OFPA=1， OB=，则tanBFO=………………6分 （2）连结OE、CE、PE。    ∵E是AB的中点， ∴OE⊥AB       又FO⊥平面ABCD，   ∴EF⊥AB。 ∵AB//CD         ∴EF⊥CD 在Rt△PAE和Rt△CBE中，PA=CB，AE=BE，∴Rt△PAE≌Rt△CBE， ∴PE=CE…………………………10分 ∴又F为PC的中点，      ∴EF⊥PC。 故EF⊥平面PCD。……………………12分

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