题目

21.已知a为实数,f（x）=（x2－4）（x－a）.（Ⅰ）求导数f′（x）;（Ⅱ）若f′（－1）=0,求f（x）在［－2,2］上的最大值和最小值;（Ⅲ）若f（x）在（－∞,－2］和［2,+∞）上都是递增的,求a的取值范围. 答案：21.本题主要考查函数、导数、不等式等基础知识,考查分析推理和知识的综合应用能力.解：（Ⅰ）由原式得f（x）=x3－ax2－4x+4a,∴f′（x）=3x2－2ax－4.（Ⅱ）由f′（－1）=0得a=,此时有f（x）=（x2－4）（x－）,f′（x）=3x2－x－4.由f′（x）=0得x=或x=－1,又f（）=－,f（－1）=,f（－2）=0,f（2）=0,所以f（x）在［－2,2］上的最大值为,最小值为－.（Ⅲ）解法一：f′（x）=3x2－2ax－4的图象为开口向上且过点（0,－4）的抛物线,由条件得f′（－2）≥0,f′2.≥0,即∴－2≤a≤2.所以a的取值范围为［－2,2］.解法二：令f′（x）=0,即3x2－2ax－4=0,由求根公式得x1,2=（x1<x2）,所以f′（x）=3x2－2ax－4在（－∞,x1］和［x2,+∞）上非负.由题设可知：当x≤－2或x≥2时,f′（x）≥0,从而x1≥－2,x2≤2,即解不等式组得－2≤a≤2,∴a的取值范围是［－2,2］.

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