题目

 椭圆的离心率为, 过点, 记椭圆的左顶点为. （1）求椭圆的方程； （2）设垂直于轴的直线交椭圆于两点, 试求面积的最大值； （3）过点作两条斜率分别为的直线交椭圆于两点，且, 求证: 直线恒过一个定点. 答案：（1）由，解得 所以椭圆C的方程为x2＋2y2＝1. （2） 解：设B(m，n)，C(－m，n)，则S△ABC＝×2|m|×|n|＝|m|·|n|， 又1＝m2＋2n2≥2＝2|m|·|n|，所以|m|·|n|≤， 当且仅当|m|＝|n|时取等号， 从而S△ABC≤，即△ABC面积的最大值为. （3）证明：因为A(－1,0)，所以AB：y＝k1(x＋1)，AC：y＝k2(x＋1)， 由消去y，得(1＋2k)x2＋4kx＋2k－1＝0，解得x＝－1或 ∴ 点，同理，有，而k1k2＝2， ∴ ∴ 直线BC的方程为 即，即， 所以，得直线BC恒过定点.

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