题目

数列满足：，.（Ⅰ）若数列为常数列，求的值； （Ⅱ）若，求证：；       （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求证：数列单调递减. 答案：（本小题满分16分） 解：（Ⅰ）因为数列为常数列， 所以， 解得或 由的任意性知，或. 所以， 或.                                               ………………… 3 分 （Ⅱ）用数学归纳法证明. 当时，， 符合上式.                                    ………………… 4 分        ② 假设当时，，        因为 ，        所以 ，即.        从而，即.        因为， 所以，当时，成立.        由①，②知，.                            ………………… 9分        （Ⅲ）因为                       ()，        所以只要证明.        由（Ⅱ）可知，，        所以只要证明，        即只要证明. …………………12分        令，        ，        所以函数在上单调递增. ………………… 14分        因为，        所以，即成立.        故. 所以数列单调递减.                              ………………… 16分

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