题目

过抛物线y2=2px的焦点F作倾斜角为θ的直线,交抛物线于A、B两点,求|AB|的最小值. 答案：解法一:(1)若θ=,此时|AB|=2p.(2)若θ≠,∵有两个交点,∴θ≠0.设AB:y=k(x-),代入抛物线方程化为k2x2-(k2p+2p)x+=0.∴x1+x2=,x1x2=,|AB|==2p·=2p(1+)＞2p.∴|AB|min=2p.此时,θ=.解法二:设直线AB的方程为x=my+,代入抛物线方程有y2-2pmy-p2=0.∴y1+y2=2pm,y1y2=-p2.∴|y1-y2|==.∴|AB|=|y1-y2|=·2p=2p(1+m2).∵m∈R,∴|AB|=2p(1+m2)≥2p.此时m=0,即θ=时,|AB|min=2p.解法三:AB是焦点弦.根据抛物线的定义,|AB|等于点A与点B分别到其准线的距离之和.而准线为x=-,∴|AB|=d1+d2=(x1+)+(x2+)=x1+x2+p(以下同解法一).

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