题目

如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0），点D（2，4），与y轴交于点C，作直线BC，连接AC，CD． （1）求抛物线的函数表达式； （2）E是抛物线上的点，求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标； （3）点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为第一象限内抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长． 答案：【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可． （2）分①点E在直线CD上方的抛物线上和②点E在直线CD下方的抛物线上两种情况，用三角函数求解即可； （3）分①CM为菱形的边和②CM为菱形的对角线，用菱形的性质进行计算； 【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0），点D（2，4）， ∴设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4）， ∴﹣8a=4， ∴a=﹣， ∴抛物线解析式为y=﹣（x+2）（x﹣4）=﹣x2+x+4； （2）如图1， ①点E在直线CD上方的抛物线上，记E′， 连接CE′，过E′作E′F′⊥CD，垂足为F′， 由（1）知，OC=4， ∵∠ACO=∠E′CF′， ∴tan∠ACO=tan∠E′CF′， ∴=， 设线段E′F′=h，则CF′=2h， ∴点E′（2h，h+4） ∵点E′在抛物线上， ∴﹣（2h）2+2h+4=h+4， ∴h=0（舍）h= ∴E′（1，）， ②点E在直线CD下方的抛物线上，记E， 同①的方法得，E（3，）， 点E的坐标为（1，），（3，） （3）①CM为菱形的边，如图2， 在第一象限内取点P′，过点 P′作P′N′∥y轴，交BC于N′，过点P′作P′M′∥BC， 交y轴于M′， ∴四边形CM′P′N′是平行四边形， ∵四边形CM′P′N′是菱形， ∴P′M′=P′N′， 过点P′作P′Q′⊥y轴，垂足为Q′， ∵OC=OB，∠BOC=90°， ∴∠OCB=45°， ∴∠P′M′C=45°， 设点P′（m，﹣ m2+m+4）， 在Rt△P′M′Q′中，P′Q′=m，P′M′=m， ∵B（4，0），C（0，4）， ∴直线BC的解析式为y=﹣x+4， ∵P′N′∥y轴， ∴N′（m，﹣m+4）， ∴P′N′=﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）=﹣m2+2m， ∴m=﹣m2+2m， ∴m=0（舍）或m=4﹣2， 菱形CM′P′N′的边长为（4﹣2）=4﹣4． ②CM为菱形的对角线，如图3， 在第一象限内抛物线上取点P，过点P作PM∥BC， 交y轴于点M，连接CP，过点M作MN∥CP，交BC于N， ∴四边形CPMN是平行四边形，连接PN交CM于点Q， ∵四边形CPMN是菱形， ∴PQ⊥CM，∠PCQ=∠NCQ， ∵∠OCB=45°， ∴∠NCQ=45°， ∴∠PCQ=45°， ∴∠CPQ=∠PCQ=45°， ∴PQ=CQ， 设点P（n，﹣ n2+n+4）， ∴CQ=n，OQ=n+2， ∴n+4=﹣n2+n+4， ∴n=0（舍）， ∴此种情况不存在． ∴菱形的边长为4﹣4． 【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求抛物线解析式，菱形的性质，平行四边形的性质，判定，锐角三角函数，解本题的关键是用等角的同名三角函数值相等建立方程求解．

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