题目

已知数列｛an｝满足an=5Sn－3,n∈N*,求a1+a3+…+a2n－1. 答案：解法一:由an=5Sn－3,知当n≥2时，an－1=5Sn－1－3,∴an－an－1=5an.∴4an=－an－1，即=－.又当n=1时，a1=5a1－3,∴a1=.由｛an｝为等比数列,知｛a2n－1｝也成等比数列,首项为,公比为.∴a1+a3+…+a2n－1==(1－).解法二:由an=5Sn－3,知Sn－Sn－1=5Sn－3(n≥2),即Sn=－Sn－1+,Sn－=－(Sn－1－),∴=－.又a1=5S1－3,a1=,∴｛Sn－｝成等比数列,Sn－=(S1－)(－)n－1,即Sn=(－)n－1+.当n≥2时，an=Sn－Sn－1=·(－)n－1－(－)n－2=－3(－)n.∴an=－3(－)n,n∈N*,==.∴｛a2n－1｝构成等比数列.a1+a3+…+a2n－1==(1－).点评:通过本题可以看出利用an与Sn的关系求数列通项公式是比较常见的方法.

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