题目

已知函数f(x)=mx3-x的图象上,以N(1,n)为切点的切线的倾斜角为.(1)求m、n的值;(2)是否存在最小的正整数k,使得不等式f(x)≤k-1 991对于x∈［-1,3］恒成立?如果存在,请求出最小的正整数k;如果不存在,请说明理由;(3)求证:|f(sinx)+f(cosx)|≤2f(t+)(x∈R,t＞0). 答案：解:(1)f′(x)=3mx2-1,依题意,得tan=f′(1),即1=3m-1,m=. ∴f(x)=x3-x.把N(1,n)代入,得n=f(1)=-.∴m=,n=-.                 (2)令f′(x)=2x2-1=0,得x=±,当-1＜x＜-时,f′(x)=2x2-1＞0;当-＜x＜时,f′(x)=2x2-1＜0;当＜x＜3时,f′(x)=2x2-1＞0.又f(-1)=,f(-)=,f()=-,f(3)=15,因此,当x∈［-1,3］时,-≤f(x)≤15.                                    要使得不等式f(x)≤k-1 991对于x∈［-1,3］恒成立,则k≥15+1 991=2 006.     ∴存在最小的正整数k=2 006,使得不等式f(x)≤k-1 991对于x∈［-1,3］恒成立.(3)证法一:|f(sinx)+f(cosx)|=|(sin3x-sinx)+(cos3x-cosx)|=|(sin3x+cos3x)-(sinx+cosx)|=|(sinx+cosx)［(sin2x-sinxcosx+cos2x)-1］|=|sinx+cosx|·|-sinxcosx-|=|sinx+cosx|3=|2sin(x+)|3≤.                                              又∵t＞0,∴t+≥2,t2+≥1.∴2f(t+)=2［(t+)3-(t+)］=2(t+)［(t2+1+)-1］=2(t+)［(t2+)-］≥2(-)=.综上,可得|f(sinx)+f(cosx)|≤2f(t+)(x∈R,t＞0).                        证法二:由(2)知函数f(x)在［-1,-］上是增函数;在［-,］上是减函数;在［,1］上是增函数.又f(-1)=,f(-)=,f()=-,f(1)=-,∴当x∈［-1,1］时,-≤f(x)≤,即|f(x)|≤.∵sinx,cosx∈［-1,1］,∴|f(sinx)|≤,|f(cosx)|≤.∴|f(sinx)+f(cosx)|≤|f(sinx)|+|f(cosx)|≤+=.                又∵t＞0,∴t+≥＞1,且函数f(x)在［1,+∞)上是增函数.∴2f(t+)≥2f()=2［()3-］=.综上,可得|f(sinx)+f(cosx)|≤2f(t+)(x∈R,t＞0).

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