题目

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE． （1）说明四边形ACEF是平行四边形； （2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由． 答案：【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定． 【专题】压轴题． 【分析】（1）证明△AEC≌△EAF，即可得到EF=CA，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可判断； （2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．根据直角三角形的性质，即可证得AC=EC，根据菱形的定义即可判断． 【解答】（1）证明：由题意知∠FDC=∠DCA=90°， ∴EF∥CA， ∴∠FEA=∠CAE， ∵AF=CE=AE， ∴∠F=∠FEA=∠CAE=∠ECA． 在△AEC和△EAF中， ∵ ∴△EAF≌△AEC（AAS）， ∴EF=CA， ∴四边形ACEF是平行四边形． （2）解：当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形． 理由如下：∵∠B=30°，∠ACB=90°， ∴AC=AB， ∵DE垂直平分BC， ∴∠BDE=90° ∴∠BDE=∠ACB ∴ED∥AC 又∵BD=DC ∴DE是△ABC的中位线， ∴E是AB的中点， ∴BE=CE=AE， 又∵AE=CE， ∴AE=CE=AB， 又∵AC=AB， ∴AC=CE， ∴四边形ACEF是菱形． 【点评】本题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定方法，正确掌握判定定理是解题的关键． 　

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