题目

21.已知双曲线的中心在原点,右顶点为A（1,0）,点P、Q在双曲线的右支上,点M（m,0）到直线AP的距离为1. （Ⅰ）若直线AP的斜率为k,且|k|∈［,］,求实数m的取值范围;（Ⅱ）当m =+1时,△APQ的内心恰好是点M,求此双曲线的方程. 答案：21.本题主要考查直线、双曲线方程和性质等基础知识,考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力. 解：（Ⅰ）由条件得直线AP的方程y=k（x－1）,即kx－y－k=0.因为点M到直线AP的距离为1,∴=1,即|m－1|==.∵|k|∈［,］,∴≤|m－1|≤2,解得+1≤m≤3或－1≤m≤1－.∴m的取值范围是［－1,1－］∪［1+,3］.（Ⅱ）可设双曲线方程为x2－=1（b≠0）,由M（+1,0）,A（1,0）,得|AM|=.又因为M是△APQ的内心,M到AP的距离为1,所以∠MAP=45°,直线AM是∠PAQ的角平分线,且M到AQ、PQ的距离均为1.因此,kAP=1,kAQ=－1,（不妨设P在第一象限）直线PQ方程为x=2+.直线AP的方程y=x－1,∴解得P的坐标是（2+,1+）.将P点坐标代入x2－=1得b2=.所以所求双曲线方程为x2－y2=1,即x2－（2－1）y2=1.

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