题目

如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD，其四条边均为道路，AD∥BC，∠ADC＝90°，AB＝5千米，BC＝8千米，CD＝3千米．现甲、乙两管理员同时从A地出发匀速前往D地，甲的路线是AD，速度为6千米/小时，乙的路线是ABCD，速度为v千米/小时． (1) 若甲、乙两管理员到达D的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v的取值范围； (2) 已知对讲机有效通话的最大距离是5千米．若乙先到达D，且乙从A到D的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度v的取值范围． 答案：解：(1) 由题意，可得AD＝12千米． 由题可知|－|≤，(2分) 解得≤v≤.(4分) (2) (解法1)经过t小时，甲、乙之间的距离的平方为f(t)． 由于先乙到达D地，故＜2，即v＞8.(6分) ① 当0＜vt≤5，即0＜t≤时， f(t)＝(6t)2＋(vt)2－2×6t×vt×cos∠DAB ＝t2. 因为v2－v＋36＞0，所以当t＝时，f(t)取最大值， 所以×≤25，解得v≥.(9分) ② 当5＜vt≤13，即＜t≤时， f(t)＝(vt－1－6t)2＋9＝(v－6) 2＋9. 因为v＞8，所以＜，(v－6)2＞0， 所以当t＝时，f(t)取最大值， 所以(v－6) 2＋9≤25，解得≤v≤.(13分) ③ 当13≤vt≤16, ≤t≤时，f(t)＝(12－6t)2＋(16－vt)2， 因为12－6t＞0，16－vt＞0，所以当f(t)在上递减，所以当t＝时，f(t)取最大值， ≤25，解得≤v≤. 因为v＞8，所以 8＜v≤.(16分) (解法2)设经过t小时，甲、乙之间的距离的平方为f(t)． 由于先乙到达D地，故＜2，即v＞8.(6分) 以A点为原点，AD为x轴建立直角坐标系， ③ 当13≤vt≤16即≤t≤，此时f (t)＝(12－6t)2＋(16－vt)2. 由①及②知8＜v≤， 于是0＜12－6t≤12－≤12－＝4， 又0≤16－vt≤3， 所以f (t)＝(12－6t)2＋(16－vt)2≤42＋32＝25恒成立． 综上①②③可知8＜v≤.(16分)

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