题目

如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB． （1）求证：AD⊥DC； （2）若AD=2，AC=，求AB的长． 答案：  考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质．  专题： 综合题；压轴题． 分析： （1）连接OC，根据切线的性质得到OC与CD垂直，进而得到∠OCA+∠DCA=90°，由AC为角平分线，根据角平分线定义得到两个角相等，又OA=OC，根据等边对等角得到又得到另两个角相等，等量代换后得到∠DAC=∠OCA，根据等角的余角相等得到∠DCA+∠DAC=90°，从而得到∠ADC为直角，得证； （2）连接CB，由AB为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠ACB与∠ADC相等都为直角，又根据AC为角平分线得到一对角相等，由两对对应角相等的两三角形相似，得到三角形ADC与三角形ABC相似，由相似得比例列出关系式，把AC和AD的长即可求出AB的长． 解答： 解：（1）连接OC， ∵直线CD与⊙O相切于点C， ∴OC⊥CD． ∴∠OCA+∠DCA=90°， ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC=∠OAC， 又∵在⊙O中，OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∴∠DAC=∠OCA， ∴∠DCA+∠DAC=90°， 则∠ADC=90°， 即AD⊥DC；   （2）连接BC． ∵AB为圆O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ADC=∠ACB=90°， 又∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC=∠OAC， ∴△ADC∽△ACB， ∴，即， 则． 点评： 此题考查了切线的性质，圆周角定理以及相似三角形的判定与性质．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．同时要求学生掌握直径所对的圆周角为直角．圆与相似三角形及三角函数相融合的解答题、与切线的性质和判定有关的证明题是近几年中考的热点试题．

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