题目

已知函数f(x)＝＋ln x. (1)当a＝时，求f(x)在[1，e]上的最大值和最小值； (2)若函数g(x)＝f(x)－x在[1，e]上为增函数，求正实数a的取值范围． 答案： (1)当a＝时，f(x)＝＋ln x， f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝2， ∴当x∈[1,2)时，f′(x)<0，故f(x)在[1,2)上单调递减； 当x∈(2，e]时，f′(x)>0，故f(x)在(2，e]上单调递增， 故f(x)min＝f(2)＝ln 2－1. 又∵f(1)＝0，f(e)＝<0. ∴f(x)在区间[1，e]上的最大值f(x)max＝f(1)＝0. 综上可知，函数f(x)在[1，e]上的最大值是0，最小值是ln 2－1. (2)∵g(x)＝f(x)－x＝＋ln x－x， ∴g′(x)＝(a>0)， 设φ(x)＝－ax2＋4ax－4，由题意知，只需φ(x)≥0在[1，e]上恒成立即可满足题意． ∵a>0，函数φ(x)的图象的对称轴为x＝2， ∴只需φ(1)＝3a－4≥0，即a≥即可．故正实数a的取值范围为.

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