题目

如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，点C、M是⊙O上的点，∠AMB=60°，过点 C作的切线交PA、PB于E、F，△PEF的外心在PE上．已知PA=3，则AE的长为　　． 答案：2﹣3　． 【考点】切线的性质；三角形的外接圆与外心． 【专题】解题方法． 【分析】由切线长定理知：PA=PB，CE=CF，由△PEF的外心在PE上，知该三角形是直角三角形，由∠M=60°，可计算出∠P的度数，利用特殊角间关系，表示出AE、PE、PF、FB，利用EF=AE+BF可得方程，求出AE的长． 【解答】解：连接OA、OB． ∵∠AMB=60°， ∴∠AOB=120° ∵PA、PB分别切⊙O于A、B， ∴PA=PB=3，∠OAP=∠OBP=90°， 在四边形PAOB中，∠P=360°﹣∠PAO﹣∠AOB﹣∠OBP=60° ∵△PEF的外心在PE上， ∴△PEF是直角三角形，且∠PFE=90°． 在Rt△PEF中，∵∠P=60°， ∴PE=2PF，EF=PF． 设AE的长为x，则PE=3﹣AE=3﹣x， 则PF=（3﹣x），EF=（3﹣x），BF=3﹣PF=（3+x） ∵EF是⊙O的切线， ∴EA=EC，FC=FB． ∵EF=EC+FC=AE+BF ∴（3﹣x）=x+（3+x）， ∴x=2﹣3． 【点评】本题考查了外接圆、切线长定理、60°角所在直角三角形的边角关系、圆周角圆心角间关系及二次根式的相关计算，属于综合性较强的题目．表示出各个线段的长，并利用线段的和列出方程是解决本题的关键．

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