题目

已知，平行四边形ABCD，E在BC延长线上，连接DE，∠A+∠E=180°．（1）如图1，求证：CD=DE；（2）如图2，过点C作BE的垂线，交AD于点F，求证：BE=AF+3DF；（3）如图3，在（2）的条件下，∠ABC的平分线，交CD于G，交CF于H，连接FG，若∠FGH=45°，DF=8，CH=9，求BE的长．答案：【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠BCD， ∵∠A+∠E=180°，∠BCD+∠DCE=180°， ∴∠DCE=∠E， ∴CD=DE；（2）如图2，过点D作DN⊥BE于N， ∵CF⊥BE， ∴∠DNC=∠BCF=90°， ∴FC∥DN， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴四边形CFDN是矩形， ∴FD=CN， ∵CD=DE，DN⊥CE， ∴CN=NE=FD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC=AD=AF+FD， ∴BE=AF+3DF．（3）如图3，过点B作BM⊥AD于点M，延长FM至K，使KM=HC．连接BK， ∵□ABCD， ∴AB∥CD， ∴∠ABG=∠BGC， ∵BG平分∠ABC， ∴设∠ABG=∠CBG=∠BGC=α， ∴BC=CG， ∵∠FGH=45°， ∴∠FGC=45°+α， ∵∠BCF=90°， ∴∠BHC=∠FHG=90°﹣α， ∴∠HFG=45°+α=∠FGC， ∴FC=CG=BC， ∵BM⊥AD， ∴∠MBC=90°=∠FCE=∠MFC， ∴四边形BCFM是矩形， ∵BC=FC， ∴四边形BCFM是正方形， ∴BM=MF=BC=AD， ∴MA=DF=8， ∵∠KMB=∠BCH=90°，KM=CH， ∴△BMK≌△BCH， ∴KM=CH=9，∠KBM=∠CBH=α，∠K=∠BHC=90°﹣α， ∵∠MBC=90°， ∴∠MBA=90°﹣2α， ∴∠KBA=90°﹣α=∠K， ∴AB=AK=8+9=17，在Rt△ABM中，∠BMA=90°，BM==15， ∴AD=BC=BM=15，[来源:学&科&网] ∴AF=AD﹣DF=15﹣8=7， ∴BE=AF+3DF=7+3×8=31．　

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