题目
(2011福建龙岩,25, 14分)如图,在直角梯形ABCD中,∠D=∠BCD=90°,∠B=60°, AB=6,AD=9,点E是CD上的一个动点(E不与D重合),过点E作EF∥AC,交AD于点F(当E运动到C时,EF与AC重合巫台).把△DEF沿EF对折,点D的对应点是点G,设DE=x,△GEF与梯形ABCD重叠部分的面积为y。(1) 求CD的长及∠1的度数;(2) 若点G恰好在BC上,求此时x的值;(3) 求y与x之间的函数关系式。并求x为何值时,y的值最大?最大值是多少?
答案:(1)CD= ∠1=30°(2)若点G恰好在BC上,则有GE=DE=x,EC=∵∠1=30°,∴∠FED=60°∴∠GEF=60°∴∠GEC=60°∴GE=2CE∴∴(3)∵△EFG≌△EFD(1)当时,随着x的增大,面积增大,此时△的面积就是重叠的面积,当时,达到最大值,为。(2)当,△EFG就有一部分在梯形外,如图3,∵GE=DE=x,EC=易求,∴∴NG=∴此时=当时,综上所述。当时,。解析:(1)过A做梯形的高,构造直角三角形,顺用、逆用三角函数计算求解线段长和角度。(2)化动为静,抓住不同直角三角形边角间的数量关系(从不同角度表示有特殊关系的线段),建立等量关系,解方程。(3)分情况讨论,求出x不同取值范围下二次函数式的最值,比较得出。