题目

如图，直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A，点B、D在直线l1上(B、D 位于点A右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M是该平面上的一个动点，M在l1上的射影点是N，且|BN|=2|DM|.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M的轨迹C的方程． (Ⅱ)过点D且不与l1、l2垂直的直线l交(Ⅰ)中的轨迹C于E、F两点；另外平面上的点G、H满足：①②③求点G的横坐标的取值范围． 答案：(Ⅰ) 以A点为坐标原点，l1为x轴，建立如图所示的坐标系，则D(1，0)，B(4，0)，动点M的轨迹方程为. (Ⅱ点G的横坐标的取值范围为(0，）. 解析: (Ⅰ) 以A点为坐标原点，l1为x轴，建立如图所示的坐标系，则D(1，0)，B(4，0)，设M（x，y）， 则N（x，0）.   ∵|BN|=2|DM|，    ∴|4－x|=2, 整理得3x2+4y2=12,    ∴动点M的轨迹方程为. (Ⅱ)∵ ∴A、D、G三点共线，即点G在x轴上；又∵∴H点为线段EF的中点；又∵∴点G是线段EF的垂直平分线GH与x轴的交点。        设l：y=k(x－1)(k≠0)，代入3x2+4y2=12得 (3+4k2)x2－8k2x+4k2－12=0，由于l过点D(1，0)是椭圆的焦点， ∴l与椭圆必有两个交点， 设E(x1，y1)，F(x2，y2)，EF的中点H的坐标为（x0，y0）， ∴x1+x2=，x1x2=  ，       x0= = ，y0=k(x0－1)= ，    ∴线段EF的垂直平分线为 y－ y0 =－  (x－x0)，令y=0得， 点G的横坐标xG = ky0+x0 = + = = －， ∵k≠0，∴k2>0，∴3+4k2>3，0<<，∴－<－<0， ∴xG= －(0，） ∴点G的横坐标的取值范围为(0，）.

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