题目

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a1＝a(a≠0)，an＋1＝rSn(n∈N*，r∈R，r≠－1)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若存在k∈N*，使得Sk＋1，Sk，Sk＋2成等差数列，试判断：对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2是否成等差数列，并证明你的结论． 答案：解析　(1)由已知an＋1＝rSn，可得an＋2＝rSn＋1，两式相减可得an＋2－an＋1＝r(Sn＋1－Sn)＝ran＋1，即an＋2＝(r＋1)an＋1，又a2＝ra1＝ra， 所以当r＝0时，数列{an}为：a,0，…，0，…； 当r≠0，r≠－1时，由已知a≠0，所以an≠0(n∈N*)， 于是由an＋2＝(r＋1)an＋1，可得＝r＋1(n∈N*)， ∴a2，a3，…，an，…成等比数列， ∴当n≥2时，an＝r(r＋1)n－2a. 综上，数列{an}的通项公式为an＝ (2)对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2成等差数列．证明如下： 当r＝0时，由(1)知，an＝ ∴对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2成等差数列． 当r≠0，r≠－1时，∵Sk＋2＝Sk＋ak＋1＋ak＋2，Sk＋1＝Sk＋ak＋1.若存在k∈N*， 使得Sk＋1，Sk，Sk＋2成等差数列，则Sk＋1＋Sk＋2＝2Sk， ∴2Sk＋2ak＋1＋ak＋2＝2Sk，即ak＋2＝－2ak＋1. 由(1)知，a2，a3，…，am，…的公比r＋1＝－2，于是 对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1＝－2am，从而am＋2＝4am， ∴am＋1＋am＋2＝2am，即am＋1，am，am＋2成等差数列． 综上，对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2成等差数列．

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