题目

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上． （1）求直线AE的解析式； （2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值； （3）点G是线段CE的中点，将抛物线沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在一点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 答案：【答案】（1）；（2）3；（3）Q的坐标为（3，）或′（3，）或（3，）或（3，）． （3）由平移后的抛物线经过点D，可得到点F的坐标，利用中点坐标公式可求得点G的坐标，然后分为QG=FG、QG=QF，FQ=FQ三种情况求解即可． 试题解析：（1）∵，∴y=（x+1）（x﹣3），∴A（﹣1，0），B（3，0）． 当x=4时，y=，∴E（4，）． 设直线AE的解析式为y=kx+b，将点A和点E的坐标代入得：，解得：k=，b=，∴直线AE的解析式为． 设点P的坐标为（x，），则点F（x，），则FP=（）﹣（）=，∴△EPC的面积=×（）×4=，∴当x=2时，△EPC的面积最大，∴P（2，﹣）． 如图2所示：作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP与N、M． ∵K是CB的中点，∴k（，﹣）． ∵点H与点K关于CP对称，∴点H的坐标为（，﹣）． ∵点G与点K关于CD对称，∴点G（0，0），∴KM+MN+NK=MH+MN+GN． 当点O、N、M、H在条直线上时，KM+MN+NK有最小值，最小值=GH，∴GH= =3，∴KM+MN+NK的最小值为3． 考点：二次函数综合题；最值问题；分类讨论；存在型；压轴题．

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