题目

函数的定义域为（0，1]（a为实数）． （1）当a=﹣1时，求函数y=f（x）的值域； （2）若函数y=f（x）在定义域上是减函数，求a的取值范围．   答案：【考点】利用导数研究函数的单调性． 【专题】计算题． 【分析】（1）先根据a的值求出函数f（x）的解析式，然后利用基本不等式求出函数y=f（x）的最小值，注意等号成立的条件，从而求出函数y=f（x）的值域； （2）将函数y=f（x）在定义域上是减函数，转化成f′（x）≤0对x∈（0，1]恒成立，然后将a分离出来得到a≤﹣2x2， x∈（0，1]，只需a≤（﹣2x2）min即可，从而求出a的取值范围． 【解答】解：（1），∵x∈（0，1] ∴当且仅当，即时，， 所以函数y=f（x）的值域为； （2）因为函数y=f（x）在定义域上是减函数， 所以对x∈（0，1]恒成立， 即a≤﹣2x2，x∈（0，1]，所以a≤（﹣2x2）min， 所以a≤﹣2，故a的取值范围是：（﹣∞，﹣2]； 【点评】本题主要考查函数的概念、性质及利用导数研究恒成立问题等基础知识，考查灵活运用基本不等式方法进行探索求值域，属于基础题．  

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