题目

已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°°，AC=3，BC=4．（1）求AB的长；（2）在直线AC、BC上分别取一点M、N，使得△AMN≌△ABN，求CN的长．答案：考点：勾股定理；全等三角形的判定．分析：（1）由勾股定理求出AB即可；（2）分两种情况：①当∠BAN=∠MAN，且AM=AB时，则BN=MN，且AM=AB=5，求出CM，设CN=x，在Rt△MCN中，由勾股定理得出方程，解方程即可； ②当∠BAN=∠MAN，且AM=AB时，则BN=MN，且AM=AB=5，求出CM=8，设CN=x，则BN=MN=x+4，在Rt△MCN中，由勾股定理得出方程，解方程即可．解答：解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4， ∴AB===5；（2）分两种情况： ①如图1所示：当∠BAN=∠MAN，且AM=AB时，有△AMN≌△ABN，则BN=MN，且AM=AB=5， ∴CM=2，设CN=x，在Rt△MCN中，MC2+CN2=MN2，即22+x2=（4﹣x）2，解得：x=， ∴CN=； ②如图2所示：当∠BAN=∠MAN，且AM=AB时，有△AMN≌△ABN，则BN=MN，且AM=AB=5， ∴CM=8，设CN=x，则BN=MN=x+4，在Rt△MCN中，MC2+CN2=MN2，即82+x2=（4+x）2，解得：x=6， ∴CN=6；综上所述：CN的长为或6．

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