题目

已知函数，． （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）若函数在上单调递减，试求的取值范围； （Ⅲ）若函数的最小值为，试求的值． 答案：解：由题意可知． （Ⅰ）因为，则，，      所以函数在点处的切线方程为．      即．                                      …………………3分 （Ⅱ）因为函数在上单调递减， 所以当时，恒成立． 即当时，恒成立．                …………………5分 显然，当时，函数单调递减，       当时，函数单调递增．    所以要使得“当时，恒成立”，     等价于即所以．            …………………7分 （Ⅲ）设，则． ①当，即时，，所以． 所以函数在单增，所以函数没有最小值．…………………9分 ②当，即时，令得， 解得 随着变化时，和的变化情况如下： ＋ － 0 ＋ ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 当时，.         所以.         所以. 又因为函数的最小值为， 所以函数的最小值只能在处取得. 所以. 所以. 易得. 解得．                            …………………………………12分 以下证明解的唯一性，仅供参考： 设 因为，所以，． 设，则. 设，则. 当时，，从而易知为减函数. 当，；当，． 所以方程只有唯一解．

查看本题答案和解析