题目

如图所示,已知四棱锥的底面是菱形,侧面PDA和侧面PDC所成的二面角为120°,且都垂直于底面,另两个侧面与底面所成的角都等于60°.(1)求异面直线PB与AC所成的角;(2)求直线PC与底面ABCD所成的角. 答案：解:如图,作DE⊥BC,垂足为E,连结PE、AC,∵平面PAD⊥平面AC,平面PDC⊥平面AC,平面PDA∩平面PDC=PD,∴PD⊥平面AC,∠PED是二面角PBCD的平面角,∠PED=60°,∠ADC是二面角APDC的平面角,∠ADC=120°.(1)由于AC⊥BD,∴AC⊥PB,而AC、PB所成角是90°.(2)∠PCD即为PC与底面ABCD所成角,设PD=h,则在Rt△PDE中,DE=PD·cot60°=,∵四边形ABCD是菱形,∴∠DCE=60°.于是,DC=,∴tan∠PCD=.∴PC与底面ABCD所成角为arctan.

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