题目

设点C（x，y）是平面直角坐标系的动点，M（2，0），以C为圆心，CM为半径的圆交y轴于A，B两点，弦AB的长|AB|=4． （Ⅰ）求点C的轨迹方程； （Ⅱ）过点F（1，0）作互相垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于点P、Q和点K、L．设线段PQ，KL的中点分别为R、T，求证：直线RT恒过一个定点． 答案：（Ⅰ）设动点C的坐标为（x，y），由题意得，， 化简得y2=4x，所以抛物线的标准方程为y2=4x．（3分） （Ⅱ）设P、Q两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则点R的坐标为． 显然直线l1斜率存在且不为0，由题意可设直线l1的方程为y=k（x﹣1）（k≠0）， 代入椭圆方程得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．（5分） △=（2k2+4）2﹣4k4=16k2+16＞0，x1+x2=2+，y1+y2=k（x1+x2﹣2）=． 所以点R的坐标为（1+，）． （6分） 由题知，直线l2的斜率为﹣，同理可得点T的坐标为（1+2k2，﹣2k）． 当k≠±1时，有，此时直线RT的斜率． （8分） 所以，直线RT的方程为y+2k=（x﹣1﹣2k2）， 整理得yk2+（x﹣3）k﹣y=0， 于是，直线RT恒过定点E（3，0）；（10分） 当k=±1时，直线RT的方程为x=3，也过E（3，0）． 综上所述，直线RT恒过定点E（3，0）（12分）

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