题目

已知函数，其中a∈R，e为自然对数的底数． （1）当a＝1时，证明：对∀x∈[0，+∞），f（x）≥2； （2）若函数f（x）在[0，π]上存在两个不同的零点，求实数a的取值范围． 答案：解：（1）当a＝1时，f（x）＝ex﹣sinx+1，则f'（x）＝ex﹣cosx≥0，且当x＝0时f'（x）＝0， ∴f（x）在[0，）上单调递增，∴f（x）min＝f（0）＝2， ∴对∀x∈[0，+∞），f（x）≥2；                  （2）令f（x）＝0，则a，令g（x）（0≤x≤π）， 函数f（x）在[0，]上存在两个零点，即 函数y＝a与函数g（x）在[0，]上有两个不同的交点， 由g（x）得，g'（x）， 令g（x）＝0，则sin（x），∵x∈[0，]，∴x或x， ∴当0＜x时，g'（x）＞0；当x时，g'（x）＜0， ∴g（x）在（0，）上单调递增，在（，）上单调递减，∴， 又g（0）＝﹣1，g（），∴当x∈[，0）时，y＝a与g（x）有两个交点， ∴a的取值范围为：[，0）．                 

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