题目

已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的图象经过原点，f′（1）=0若f（x）在x=﹣1取得极大值2． （1）求函数y=f（x）的解析式； （2）若对任意的x∈[﹣2，4]，都有f（x）≥f′（x）+6x+m，求m的最大值． 答案：考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值． 专题： 导数的综合应用． 分析： （1）本题是据题意求参数的题，题目中x=﹣1时有极大值2，且f′（1）=0，函数图象过原点，可转化出4个等式，利用其建立方程求解即可得函数y=f（x）的解析式． （2）对任意的x∈[﹣2，4]，都有f（x）≥f′（x）+6x+m，可知当x∈[﹣2，4]时恒有f（x）≥f′（x）+6x+m，将问题转化为m≤f（x）﹣f′（x）﹣6x恒成立，再利用常数分离法进行求解． 解答： 解：（1）∵f′（x）=3ax2+2bx+c（a≠0）， ∵x=﹣1时有极大值2，∴f′（﹣1）=3a﹣2b+c=0     ① 又f（0）=d=0     ② f′（1）=3a+2b+c=0      ③ f（﹣1）=﹣a+b﹣c=2      ④ ①②③④联立得  a=1，b=0，c=﹣3，d=0． 故函数f（x）=x3﹣3x2． （2）∵f（x）≥f′（x）+6x+m， ∴m≤f（x）﹣f′（x）﹣6x，令g（x）=f（x）﹣f′（x）﹣6x=x3﹣3x2﹣9x+3，∴g′（x）=3x2﹣6x﹣9， 令g′（x）=0，得x=﹣1或x=3， ∴g（x）在[﹣2，﹣1]内单调递增，在[﹣1，3]内单调递减，在[3，4]内单调递增， ∴g（x）min=g（3）=﹣24； ∴m≤﹣24，即mmax=﹣24． 点评： 本小题考点是导数的运用，考查导数与极值的关系，本题的特点是用导数一极值的关建立方程求参数﹣﹣﹣求函数的表达式．

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