题目

如图，在四棱锥中，⊥平面，四边形是菱形，，，且交于点，是上任意一点． （1）求证：； （2）若为的中点，且二面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值． 答案：解：（1）因为DP⊥平面ABCD，所以DP⊥AC， 因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC，又BD∩PD=D，∴AC⊥平面PBD，因为DE⊂平面PBD，∴AC⊥DE．          （4分） （2）连接OE，在△PBD中，EO∥PD， 所以EO⊥平面ABCD，分别以OA，OB，OE所在直线为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，                        （5分） 设PD=t，则A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣1，0，0）， E（0，0，），P（0，﹣，t）． 设平面PAB的一个法向量为（x，y，z）， 则 ，令，得， 平面PBD的法向量（1，0，0）， 因为二面角A﹣PB﹣D的余弦值为，所以 ， 所以或（舍），                             （9分） 则 ∴，∴EC与平面PAB所成角的正弦值为． （12分）

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