题目

（2019·浙江中考模拟）如图1，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过O点作OF⊥AB交⊙O于点D，交AC于点E，交BC的延长线于点F，点G是EF的中点，连接CG (1)判断CG与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)求证：2OB2＝BC•BF； (3)如图2，当∠DCE＝2∠F，CE＝3，DG＝2.5时，求DE的长． 答案：（1）CG与⊙O相切，理由见解析；（2）见解析；（3）DE＝2 【解析】 解：（1）CG与⊙O相切，理由如下： 如图1，连接CE， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝∠ACF＝90°， ∵点G是EF的中点， ∴GF＝GE＝GC， ∴∠AEO＝∠GEC＝∠GCE， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC， ∵OF⊥AB， ∴∠OAC+∠AEO＝90°， ∴∠OCA+∠GCE＝90°，即OC⊥GC， ∴CG与⊙O相切； （2）∵∠AOE＝∠FCE＝90°，∠AEO＝∠FEC， ∴∠OAE＝∠F， 又∵∠B＝∠B， ∴△ABC∽△FBO， ∴，即BO•AB＝BC•BF， ∵AB＝2BO， ∴2OB2＝BC•BF； （3）由（1）知GC＝GE＝GF， ∴∠F＝∠GCF， ∴∠EGC＝2∠F， 又∵∠DCE＝2∠F， ∴∠EGC＝∠DCE， ∵∠DEC＝∠CEG， ∴△ECD∽△EGC， ∴， ∵CE＝3，DG＝2.5， ∴， 整理，得：DE2+2.5DE﹣9＝0， 解得：DE＝2或DE＝﹣4.5（舍）， 故DE＝2． 【点睛】 本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质及直角三角形的性质等知识点．

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