题目

已知抛物线y=﹣+bx+c与y轴交于点C，与x轴的两个交点分别为A（﹣4，0），B（1， 0）． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点P在抛物线上，连接PC，PB，若△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标； （4）已知点E在x轴上，点F在抛物线上，是否存在以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 答案：分析：（1）因为抛物线经过点A（﹣4，0），B（1，0），所以可以设抛物线为y=﹣（x+4）（x﹣1），展开即可解决问题． （2）先证明∠ACB=90°，点A就是所求的点P，求出直线AC解析式，再求出过点B平行AC的直线的解析式，利用方程组即可解决问题． （3）分AC为平行四边形的边，AC为平行四边形的对角线两种切线讨论即可解决问题．  解：（1）抛物线的解析式为y=﹣（x+4）（x﹣1），即y=﹣x2﹣x+2； （2）存在． 当x=0，y═﹣x2﹣x+2=2，则C（0，2）， ∴OC=2， ∵A（﹣4，0），B（1，0）， ∴OA=4，OB=1，AB=5， 当∠PCB=90°时， ∵AC2=42+22=20，BC2=22+12=5，AB2=52=25 ∴AC2+BC2=AB2 ∴△ACB是直角三角形，∠ACB=90°， ∴当点P与点A重合时，△PBC是以BC为直角边的直角三角形，此时P点坐标为（﹣4，0）； 当∠PBC=90°时，PB∥AC，如图1， 设直线AC的解析式为y=mx+n， 把A（﹣4，0），C（0，2）代入得，解得， ∴直线AC的解析式为y=x+2， ∵BP∥AC， ∴直线BP的解析式为y=x+p， 把B（1，0）代入得+p=0，解得p=﹣， ∴直线BP的解析式为y=x﹣， 解方程组得或，此时P点坐标为（﹣5，﹣3）； 综上所述，满足条件的P点坐标为（﹣4，0），P2（﹣5，﹣3）； （3）存在点E，设点E坐标为（m，0），F（n，﹣n2﹣n+2） ①当AC为边，CF1∥AE1，易知CF1=3，此时E1坐标（﹣7，0）， ②当AC为边时，AC∥EF，易知点F纵坐标为﹣2， ∴﹣n2﹣n+2=﹣2，解得n=，得到F2（，﹣2），F3（，﹣2）， 根据中点坐标公式得到： =或=， 解得m=或， 此时E2（，0），E3（，0）， ③当AC为对角线时，AE4=CF1=3，此时E4（﹣1，0）， 综上所述满足条件的点E为（﹣7，0）或（﹣1，0）或（，﹣2）或（，﹣2）．

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