题目

已知动点P到定点F（p，0）和到直线x=﹣p（p＞0）的距离相等． （Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程； （Ⅱ）经过点F的直线l交（Ⅰ）中轨迹C于A、B两点，点D在抛物线的准线上，且BD∥x轴．证明直线AD经过原点O． 　 答案：【考点】抛物线的简单性质． 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）根据题意，利用抛物线定义得到动点P的轨迹C是以F为焦点，以直线x=﹣p（p＞0）为准线的抛物线，求出动点P的轨迹C的方程即可； （Ⅱ）设经过点F的直线l的方程可设为x=my+p，代入抛物线解析式，消去x得到关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出y1y2，由BD与x轴平行，且在抛物线准线上，设出D坐标，进而表示出与，利用平面向量运算法则判断出与共线，且有公共点，即可得证． 【解答】（Ⅰ）解：∵动点P到定点F（p，0）和到直线x=﹣p（p＞0）的距离相等， ∴由抛物线定义知，动点P的轨迹C是以F为焦点，以直线x=﹣p（p＞0）为准线的抛物线， 则轨迹C的方程是y2=4px； （Ⅱ）证明：经过点F的直线l的方程可设为x=my+p， 代入抛物线方程得：y2﹣4pmy﹣4p2=0， 若记A（x1，y1），B（x2，y2）， 则y1，y2是该方程的两个根， ∴y1y2=﹣4p2， ∵BD∥x轴，且点D在准线x=﹣p上， ∴点D的坐标为（﹣p，y2）， ∴=（x1，y1），=（﹣p，y2）， ∵x1y2+py1=+py1=+py1=﹣py1+py1=0， ∴向量，共线，且，有共同的起点O， 则直线AC经过原点O． 【点评】此题考查了抛物线的简单性质，抛物线的定义，以及平面向量的数量积运算法则，熟练掌握抛物线的定义是解本题的关键．

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