题目

双曲线M的中心在原点，并以椭圆的焦点为焦点，以抛物线 的准线为右准线. （Ⅰ）求双曲线M的方程； （Ⅱ）设直线： 与双曲线M相交于A、B两点，O是原点. ① 当为何值时，使得? ② 是否存在这样的实数,使A、B两点关于直线对称？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 答案： 解：（Ⅰ）易知，椭圆的半焦距为：， 又抛物线的准线为：. 设双曲线M的方程为，依题意有， 故，又. ∴双曲线M的方程为. （Ⅱ）设直线与双曲线M的交点为、两点 联立方程组 消去y得  ， ∵、两点的横坐标是上述方程的两个不同实根， ∴ ∴，从而有 ，. 又， ∴ . ① 若，则有 ， 即 . ∴当时，使得.   ② 若存在实数,使A、B两点关于直线对称，则必有 ， 因此，当m=0时，不存在满足条件的k； 当时，由 得    ∵A、B中点在直线上， ∴ 代入上式得 ；又， ∴ 将代入并注意到，得 . ∴当时，存在实数，使A、B两点关于直线对称.

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