题目

已知：在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且对称轴为x=﹣2，点P（0，t）是y轴上的一个动点． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标． （2）如图1，当0≤t≤4时，设△PAD的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；S是否有最小值？如果有，求出S的最小值和此时t的值． （3）如图2，当点P运动到使∠PDA=90°时，Rt△ADP与Rt△AOC是否相似？若相似，求出点P的坐标；若不相似，说明理由． 答案：【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）根据二次函数的对称轴列式求出b的值，即可得到抛物线解析式，然后整理成顶点式形式，再写出顶点坐标即可； （2）令y=0解关于x的一元二次方程求出点A、B的坐标，过点D作DE⊥y轴于E，然后根据△PAD的面积为S=S梯形AOCE﹣S△AOP﹣S△PDE，列式整理，然后利用一次函数的增减性确定出最小值以及t值； （3）过点D作DF⊥x轴于F，根据点A、D的坐标判断出△ADF是等腰直角三角形，然后求出∠ADF=45°，根据二次函数的对称性可得∠BDF=∠ADF=45°，从而求出∠PDA=90°时点P为BD与y轴的交点，然后求出点P的坐标，再利用勾股定理列式求出AD、PD，再根据两边对应成比例夹角相等两三角形相似判断即可． 【解答】解：（1）对称轴为x=﹣=﹣2， 解得b=﹣1， 所以，抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+3， ∵y=﹣x2﹣x+3=﹣（x+2）2+4， ∴顶点D的坐标为（﹣2，4）； （2）令y=0，则﹣x2﹣x+3=0， 整理得，x2+4x﹣12=0， 解得x1=﹣6，x2=2， ∴点A（﹣6，0），B（2，0）， 如图1，过点D作DE⊥y轴于E， ∵0≤t≤4， ∴△PAD的面积为S=S梯形AOED﹣S△AOP﹣S△PDE， =×（2+6）×4﹣×6t﹣×2×（4﹣t）， =﹣2t+12， ∵k=﹣2＜0， ∴S随t的增大而减小， ∴t=4时，S有最小值，最小值为﹣2×4+12=4； （3）如图2，过点D作DF⊥x轴于F， ∵A（﹣6，0），D（﹣2，4）， ∴AF=﹣2﹣（﹣6）=4， ∴AF=DF， ∴△ADF是等腰直角三角形， ∴∠ADF=45°， 由二次函数对称性，∠BDF=∠ADF=45°， ∴∠PDA=90°时点P为BD与y轴的交点， ∵OF=OB=2， ∴PO为△BDF的中位线， ∴OP=DF=2， ∴点P的坐标为（0，2）， 由勾股定理得，DP==2， AD=AF=4， ∴==2， 令x=0，则y=3， ∴点C的坐标为（0，3），OC=3， ∴==2， ∴=， 又∵∠PDA=90°，∠COA=90°， ∴Rt△ADP∽Rt△AOC．

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