题目

在梯形ABCD中，AD∥BC．AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，点E、F分别在AD、DC上（点E与A、D不重合）；且∠BEF=120°，设AE=x，DF=y． （1）求证：△ABE∽△DEF； （2）求出 y关于x的函数关系； （3）当x为何值时，y有最大值，最大值为多少？ 答案：【考点】相似形综合题． 【分析】（1）由AD∥BC，AB=DC，∠ABC=60°，由等腰梯形的性质可得∠A=∠D，等量代换易得∠A=∠BEF，可得∠DEF=∠ABE，证得结论； （2）由△ABE∽△DEF，利用相似三角形对应边的比相等，得出y关于x的函数关系； （3）利用配方法，将（2）中的函数关系式写成顶点式，可求最大值． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC，AB=DC，∠ABC=60°， ∴∠A=∠D，∠A=120° ∵∠BEF=120°， ∴∠A=∠BEF， 又∵∠AEB+∠BEF+∠DEF=180°， 在△AEB中，∠AEB+∠A+∠ABE=180°， ∴∠DEF=∠ABE， ∴△ABE∽△DEF； （2）解：∵△ABE∽△DEF， ∴=，即=， 解得y=﹣x2+x； （3）解：∵y=﹣x2+x=y=﹣（x﹣3）2+，且﹣＜0， ∴当x=3时，y最大值=．

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