题目

已知函数，． （1）若曲线在处的切线的方程为，求实数的值； （2）设，若对任意两个不等的正数，都有恒成立， 求实数的取值范围； （3）若在上存在一点，使得成立，求实数的取值范围． 答案：（1）由，得， 由题意，，所以．           ………………………………3分 （2）， 因为对任意两个不等的正数，都有， 设，则，即恒成立， 问题等价于函数，即在为增函数．…6分 所以在上恒成立，即在上恒成立， 所以，即实数的取值范围是．……………………………8分 （3）不等式等价于， 整理得． 设，由题意知，在上存在一点，使得．………10分 由． 因为，所以，即令，得． ① 当，即时，在上单调递增， 只需，解得． ………………………………………………12分 ② 当，即时，在处取最小值． 令，即，可得． 考查式子， 因为，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立．……………14分 ③ 当，即时，在上单调递减， 只需，解得． 综上所述，实数的取值范围是．  …………………………16分

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