题目

已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）证明：只有一个零点． 答案：（1）f（x）在（–∞，），（，+∞）单调递增，在（，）单调递减． （2）见解析. 【解析】 分析：（1）将代入，求导得，令求得增区间，令求得减区间；（2）令，即，则将问题转化为函数只有一个零点问题，研究函数单调性可得. 详解：（1）当a=3时，f（x）=，f ′（x）=． 令f ′（x）=0解得x=或x=． 当x∈（–∞，）∪（，+∞）时，f ′（x）>0； 当x∈（，）时，f ′（x）<0． 故f（x）在（–∞，），（，+∞）单调递增，在（，）单调递减． （2）由于，所以等价于． 设=，则g ′（x）=≥0，仅当x=0时g ′（x）=0，所以g（x）在（–∞，+∞）单调递增．故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点． 又f（3a–1）=，f（3a+1）=，故f（x）有一个零点． 综上，f（x）只有一个零点． 点睛：（1）用导数求函数单调区间的步骤如下：①确定函数的定义域；②求导数；③由（或）解出相应的的取值范围，当时，在相应区间上是增函数；当时，在相应区间上是减增函数. （2）本题第二问重在考查零点存在性问题，解题的关键在于将问题转化为求证函数有唯一零点，可先证明其单调，再结合零点存在性定理进行论证.

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