题目

如图， 是 的直径，点 E 、 F 在 上，且 ，连接 、 ，过点 作 的切线，分别与 、 的延长线交于点 C 、 D ． （ 1 ）求证： ； （ 2 ）若 ， ，求线段 的长． 答案： （ 1 ）见解析；（ 2 ） 【分析】 （ 1 ）取 的中点 M ，连接 、 ，由题意易得 ，则有 ，然后问题可求证； （ 2 ）连接 ，由题意易得 ，由（ 1 ）知 ，则有 ，然后由相似三角形的性质可得 ，则 ，进而可得 ，最后问题可求解． 【详解】 （ 1 ）证明：如图，取 的中点 M ，连接 、 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ； （ 2 ）解：连接 ， ∵ 是 的切线， ∴ ， 由（ 1 ）知 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ． ∴ ， ∵ 是 的直径， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ， ∴ ． 【点睛】 本题主要考查相似三角形的性质与判定、圆周角定理及切线的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定、圆周角定理及切线的性质是解题的关键．

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