题目
如图,AB是⊙O的直径,弦DE垂直平分半径OA,C为垂足,弦DF与半径OB相交于点P,连接EF、EO,若DE=2,∠DPA=45°. (1)求⊙O的半径; (2)求图中阴影部分的面积.
答案:(1);(2)π﹣. 【分析】 (1)根据垂径定理得CE的长,再根据已知DE平分AO得CO=AO=OE,根据勾股定理列方程求解. (2)先求出扇形的圆心角,再根据扇形面积和三角形的面积公式计算即可. 【详解】 解:(1)连接OF, ∵直径AB⊥DE, ∴CE=DE=1. ∵DE平分AO, ∴CO=AO=OE. 设CO=x,则OE=2x. 由勾股定理得:12+x2=(2x)2. x=. ∴OE=2x=. 即⊙O的半径为. (2)在Rt△DCP中, ∵∠DPC=45°, ∴∠D=90°﹣45°=45°. ∴∠EOF=2∠D=90°. ∴S扇形OEF==π. ∵∠EOF=2∠D=90°,OE=OF= SRt△OEF==. ∴S阴影=S扇形OEF﹣SRt△OEF=π﹣. 【点睛】 本题考查了垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.也考查了扇形的面积公式、圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系.