题目

如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO，若DE＝2，∠DPA＝45°． （1）求⊙O的半径； （2）求图中阴影部分的面积． 答案：（1）；（2）π﹣． 【分析】 （1）根据垂径定理得CE的长，再根据已知DE平分AO得CO＝AO＝OE，根据勾股定理列方程求解． （2）先求出扇形的圆心角，再根据扇形面积和三角形的面积公式计算即可． 【详解】 解：（1）连接OF， ∵直径AB⊥DE， ∴CE＝DE＝1． ∵DE平分AO， ∴CO＝AO＝OE． 设CO＝x，则OE＝2x． 由勾股定理得：12+x2＝（2x）2． x＝． ∴OE＝2x＝． 即⊙O的半径为． （2）在Rt△DCP中， ∵∠DPC＝45°， ∴∠D＝90°﹣45°＝45°． ∴∠EOF＝2∠D＝90°． ∴S扇形OEF＝＝π． ∵∠EOF＝2∠D＝90°，OE＝OF＝ SRt△OEF＝＝． ∴S阴影＝S扇形OEF﹣SRt△OEF＝π﹣． 【点睛】 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了扇形的面积公式、圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．

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