题目

已知数列{an}满足a1=1，且点（an，an+1）（n∈N*）在直线y=x+1上；数列{bn}的前n项和Sn=3n﹣1．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）若数列{an•bn}的前n项和为Tn，求使Tn＜8Sn+成立的最大数n的值．答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】转化思想；分析法；等差数列与等比数列．【分析】（1）由题意可得an+1=an+1，运用等差数列的通项公式可得an=n；再由b1=S1=2；bn=Sn﹣Sn﹣1，计算即可得到所求通项；（2）求得anbn=2n3n﹣1，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，可得Tn，由题意化简可得2n﹣1＜16，解不等式即可得到所求最大值．【解答】解：（1）由题意可得an+1=an+1，可得an=a1+n﹣1=1+n﹣1=n；由数列{bn}的前n项和Sn=3n﹣1，可得b1=S1=2； bn=Sn﹣Sn﹣1=3n﹣1﹣（3n﹣1﹣1）=23n﹣1，上式对n=1也成立．则bn=23n﹣1；（2）anbn=2n3n﹣1，前n项和为Tn=2（130+231+332+…+n3n﹣1），即有3Tn=2（13+232+333+…+n3n），相减可得，﹣2Tn=2（1+3+32+…+3n﹣1﹣n3n） =2（﹣n3n），化简可得Tn=， Tn＜8Sn+即为＜8（3n﹣1）+，化简为2n﹣1＜16，解得n＜8.5，则n的最大值为8．【点评】本题考查数列的通项的求法，注意等差数列的定义和通项公式，考查数列的求和方法：错位相减法，以及不等式恒成立问题的解法，注意运用等比数列的求和公式，属于中档题．

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