题目

我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿 摆成如图 1 所示．已知 ，鱼竿尾端 A 离岸边 ，即 ．海面与地面 平行且相距 ，即 ． （ 1 ）如图 1 ，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线 与海面 的夹角 ，海面下方的鱼线 与海面 垂直，鱼竿 与地面 的夹角 ．求点 O 到岸边 的距离； （ 2 ）如图 2 ，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角 ，此时鱼线被拉直，鱼线 ，点 O 恰好位于海面．求点 O 到岸边 的距离．（参考数据： ， ， ， ， ， ） 答案： （ 1 ） 8.1m ；（ 2 ） 4.58m 【分析】 （ 1 ）过点 作 ，垂足为 ，延长 交 于点 ，构建 和 ，在 中，根据三角函数的定义与三角函数值求出 BE , AE ; 再用 求出 BF ，在 中，根据三角函数的定义与三角函数值求出 FC ，用 ; （ 2 ）过点 作 ，垂足为 ，延长 交 于点 ，构建 和 ，在 中，根据 53° 和 AB 的长求出 BM 和 AM ，利用 BM + MN 求出 BN ，在 中利用勾股定理求出 ON ，最后用 HN + ON 求出 OH ． 【详解】 （ 1 ）过点 作 ，垂足为 ，延长 交 于点 ， 则 ，垂足为 ． 由 ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ， 由 ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ． 又 ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ， 即 到岸边的距离为 ． （ 2 ）过点 作 ，垂足为 ，延长 交 于点 ， 则 ，垂足为 ． 由 ， ∴ ， ∴ ， 即 ， ∴ ． 由 ， ∴ ， ∴ ， 即 ， ∴ ． ∴ ， ∴ ， 即点 到岸边的距离为 ． 【点睛】 本题以钓鱼为背景，考查了学生运用三角函数知识解决实际问题的能力，解题关键在于构造合适的直角三角形，运用三角函数的运算，根据一边和一角的已知量，求其他边；再根据特殊的几何位置关系求线段长度．

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