题目

如图，在直角坐标系中，已知点A（0，1），B（-4，4），将点B绕点A顺时针方向90°得到点C；顶点在坐标原点的拋物线经过点B． （1）求抛物线的解析式和点C的坐标； （2）抛物线上一动点P，设点P到x轴的距离为，点P到点A的距离为，试说明； （3）在（2）的条件下，请探究当点P位于何处时，△PAC的周长有最小值，并求出△PAC的周长的最小值． 解： 答案：解：（1）设抛物线的解析式：， ∵拋物线经过点B（-4，4）， ∴4=a•42，解得a=， 所以抛物线的解析式为：； 过点B作BE⊥y轴于E，过点C作CD⊥y轴于D，如图， ∵点B绕点A顺时针方向90°得到点C， ∴Rt△BAE≌Rt△ACD， ∴AD=BE=4，CD=AE=OE-OA=4-1=3， ∴OD=AD+OA=5， ∴C点坐标为（3，5）； （2）设P点坐标为（a，b），过P作PF⊥y轴于F，PH⊥x轴于H，如图， ∵点P在抛物线上， ∴， ∴， ∵AF=OF-OA=PH-OA=，PF=a， 在Rt△PAF中，PA=， ∴； （3）由（1）得AC=5， ∴△PAC的周长=PC+PA+5 =PC+PH+6， 要使PC+PH最小，则C、P、H三点共线， ∴此时P点的横坐标为3，把x=3代入，得到， 即P点坐标为（3，），此时PC+PH=5， ∴△PAC的周长的最小值=5+6=11．

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