题目

如图，抛物线 与 x 轴交于点 A 、 B ，与 y 轴交于点 C ，已知 ． （ 1 ）求 m 的值和直线 对应的函数表达式； （ 2 ） P 为抛物线上一点，若 ，请直接写出点 P 的坐标； （ 3 ） Q 为抛物线上一点，若 ，求点 Q 的坐标． 答案： （ 1 ） ， ；（ 2 ） ， ， ；（ 3 ） 【分析】 （ 1 ）求出 A ， B 的坐标，用待定系数法计算即可； （ 2 ）做点 A 关于 BC 的平行线 ，联立直线 与抛物线的表达式可求出 的坐标，设出直线 与 y 轴的交点为 G ，将直线 BC 向下平移，平移的距离为 GC 的长度，可得到直线 ，联立方程组即可求出 P ； （ 3 ）取点 ，连接 ，过点 作 于点 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 于点 ，得直线 对应的表达式为 ，即可求出结果； 【详解】 （ 1 ）将 代入 ， 化简得 ，则 （舍）或 ， ∴ ， 得： ，则 ． 设直线 对应的函数表达式为 ， 将 、 代入可得 ，解得 ， 则直线 对应的函数表达式为 ． （ 2 ）如图，过点 A 作 ∥ BC ，设直线 与 y 轴的交点为 G ，将直线 BC 向下平移 GC 个单位，得到直线 ， 由（ 1 ）得直线 BC 的解析式为 ， ， ∴ 直线 AG 的表达式为 ， 联立 ， 解得： （舍），或 ， ∴ ， 由直线 AG 的表达式可得 ， ∴ ， ， ∴ 直线 的表达式为 ， 联立 ， 解得： ， ， ∴ ， ， ∴ ， ， ． （ 3 ）如图，取点 ，连接 ，过点 作 于点 ， 过点 作 轴于点 ，过点 作 于点 ， ∵ ， ∴ AD=CD ， 又 ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又 ∵ ， ∴ ，则 ， ． 设 ， ∵ ， ， ∴ ． 由 ，则 ，即 ，解之得， ． 所以 ，又 ， 可得直线 对应的表达式为 ， 设 ，代入 ， 得 ， ， ， 又 ，则 ．所以 ． 【点睛】 本题主要考查了二次函数综合题，结合一元二次方程求解是解题的关键．

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