题目

在平面直角坐标系中，点为坐标原点，动点与定点F(－1，0)的距离和它到定直线的距离之比是. （1）求动点P的轨迹的方程； （2）过作曲线的不垂直于轴的弦,为的中点,直线与曲线交于两点,求四边形面积的最小值. 答案：解：（1）由已知，得． 两边平方，化简得＋y2＝1．故轨迹的方程是．…（3分） （2）因AB不垂直于y轴，设直线AB的方程为x＝my－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得(m2＋2)y2－2my－1＝0. y1＋y2＝，y1y2＝. x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝，于是AB的中点为M， 故直线PQ的斜率为－，PQ的方程为y＝－x，即mx＋2y＝0， 整理得：x2=，|PQ| 方法一：设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，所以2d＝.因为点A，B在直线mx＋2y＝0的异侧，所以(mx1＋2y1)(mx2＋2y2)<0，于是|mx1＋2y1|＋|mx2＋2y2|＝|mx1＋2y1－mx2－2y2|，从而2d＝.又因为|y1－y2|＝＝，所以2d＝.…....10分 故四边形APBQ的面积S＝|PQ|·2d＝=2≥2 即时， 方法二：P（，），Q（，）， P到直线AB的距离d1=，Q到直线AB的距离d2=， ∵P，Q在直线AB的两侧，且关于原点对称， ∴SAPBQ=丨AB丨（d1+d2）=••（ + ）=， ∴SAPBQ ==2≥2，即时，

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