题目

已知f(x)=在区间[－1，1]上是增函数. （Ⅰ）求实数a的值组成的集合A； （Ⅱ）设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2.试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由. 答案： 解：（Ⅰ）f＇(x)=4+2  ∵f(x)在[－1，1]上是增函数， ∴f＇(x)≥0对x∈[－1，1]恒成立， 即x2－ax－2≤0对x∈[－1，1]恒成立.        ① 设 (x)=x2－ax－2， 方法一：             (1)=1－a－2≤0， ①                               －1≤a≤1，                 (－1)=1+a－2≤0. ∵对x∈[－1，1]，只有当a=1时，f＇(-1)=0以及当a=－1时，f＇(1)=0 ∴A={a|－1≤a≤1}. 方法二：        ≥0，                   <0， ①                      或             (－1)=1+a－2≤0           (1)=1－a－2≤0        0≤a≤1         或   －1≤a<0        －1≤a≤1. ∵对x∈[－1，1]，只有当a=1时，f＇(－1)=0以及当a=－1时，f＇(1)=0 ∴A={a|－1≤a≤1}. （Ⅱ）由 ∵△=a2+8>0 ∴x1，x2是方程x2－ax－2=0的两非零实根，              x1+x2=a， ∴                              从而|x1－x2|=. x1x2=－2， ∵－1≤a≤1，∴|x1-x2|=≤3. 要使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立， 当且仅当m2+tm+1≥3对任意t∈[－1，1]恒成立， 即m2+tm－2≥0对任意t∈[－1，1]恒成立.        ② 设g(t)=m2+tm－2=mt+(m2－2)， 方法一：            g(－1)=m2－m－2≥0， ②                  g(1)=m2+m－2≥0， m≥2或m≤－2. 所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}. 方法二： 当m=0时，②显然不成立； 当m≠0时，           m>0，                  m<0， ②                     或            g(－1)=m2－m－2≥0      g(1)=m2+m－2≥0  m≥2或m≤－2. 所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}.

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