题目

在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，A1A=4，点D是BC的中点； （I）求异面直线A1B，AC1所成角的余弦值； （II）求直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值． 答案：（I）（II） 解：（I）以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，………1分 则可得B（2，0，0），A1（0，0，4），C1（0，2，4），D（1，1，0）， ∴=（2，0，﹣4），=（0，2，4）， ∴cos＜，＞==………………5分 ∴异面直线A1B，AC1所成角的余弦值为………………6分 （II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0）， 设平面C1AD的法向量为=（x，y，z）， 则可得，即，取x=1可得=（1，﹣1，），……………9分 设直线AB1与平面C1AD所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=…………11分 ∴直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值为：…………12分

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