题目

如图，正方形 中， ，连接 ， 的平分线交 于点 E ，在 上截取 ，连接 ，分别交 ， 于点 G ， H ，点 P 是线段 上的动点， 于点 Q ，连接 ．下列结论： ① ； ② ； ③ ； ④ 的最小值是 ．其中所有正确结论的序号是 _____ ． 答案： ①②④ 【分析】 先根据 定理证出 ，从而可得 ，再根据角的和差即可判断结论 ① ；根据等腰三角形的性质可得 ，然后根据线段的和差、等量代换即可判断结论 ② ；先根据正方形的性质可得 ，再根据 可得 ，从而可得 ，由此即可判断结论 ③ ；过点 作 于点 ，连接 ，先根据角平分线的性质可得 ，再根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当 时， 取得最小值，然后解直角三角形即可得判断结论 ④ ． 【详解】 解： 四边形 是正方形， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ，即 ，结论 ① 正确； 平分 ， ， ， ， ， ， ， ， ，结论 ② 正确； ， ， ， ， 即 ，结论 ③ 错误； 如图，过点 作 于点 ，连接 ， 平分 ， ， ， ， ， 由两点之间线段最短得：当点 共线时， 取得最小值 ， 由垂线段最短得：当 时， 取得最小值， 此时在 中， ， 即 的最小值是 ，结论 ④ 正确； 综上，所有正确结论的序号是 ①②④ ， 故答案为： ①②④ ． 【点睛】 本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识点，较难的是 ④ ，利用两点之间线段最短、垂线段最短得出当 时， 取最小值是解题关键．

查看本题答案和解析