题目

如图，在平面直角坐标系中， 的边 在 轴上， ，且线段 的长是方程 的根，过点 作 轴，垂足为 ， ，动点 以每秒 1 个单位长度的速度，从点 出发，沿线段 向点 运动，到达点 停止．过点 作 轴的垂线，垂足为 ，以 为边作正方形 ，点 在线段 上，设正方形 与 重叠部分的面积为 ，点 的运动时间为 秒． （ 1 ）求点 的坐标； （ 2 ）求 关于 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围； （ 3 ）当点 落在线段 上时，坐标平面内是否存在一点 ，使以 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 答案： （ 1 ） ；（ 2 ） ；（ 3 ）存在， 或 或 【分析】 （ 1 ）由题意易得 ，进而可得 ，则有 ，然后问题可求解； （ 2 ）由题意易得 ，则有 ，进而可得 ，然后根据梯形面积计算公式可求解； （ 3 ）由（ 2 ）及题意易得 ，则有 ，然后可得点 ，进而可分 ① 以 OM 为平行四边形的对角线时， ② 以 OA 为平行四边形的对角线时， ③ 以 AM 为平行四边形的对角线时，最后根据平行四边形的性质分类求解即可． 【详解】 解：（ 1 ）由线段 OA 的长是方程 的根，可得： ， ∴ ， ∵ 轴， ， ∴ 在 Rt △ AEB 中，可由三角函数及勾股定理设 ， ∴ ，解得： ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （ 2 ）由题意得： ，则由（ 1 ）可得 ， ∵ 四边形 是正方形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 自变量 t 的范围为 ； （ 3 ）存在，理由如下： 由（ 2 ）可知： ， ， ， ∴ ， ∵ MF ∥ OA ， ∴ ， ∴ ，即 ， 解得： ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ① 以 OM 为平行四边形的对角线时，如图所示： ∵ 四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴ ， ∴ ； ② 以 OA 为平行四边形的对角线时，如图所示： 同理可得 ； ③ 以 AM 为平行四边形的对角线时，如图所示： 同理可得 ； 综上所述：当以 为顶点的四边形是平行四边形时，则点 的坐标为 或 或 ． 【点睛】 本题主要考查三角函数、平行四边形的性质、正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握三角函数、平行四边形的性质、正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．

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