题目

已知函数，a常数. （1）若，求证为奇函数，并指出的单调区间； （2）若对于，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 答案：（1）证明见解析，单调增区间为；（2）. 【分析】 （1）由奇函数定义证明，由复合函数的单调性得单调区间； （2）不等式变形为，令，研究的单调性，求出它的最小值即可． 【详解】 （1）证明：当时，. 的定义域为. 当时, . ， ∴在区间上是奇函数， 的单调增区间为，. （2）由， 得. 令， 若使题中不等式恒成立，只需要. 由（1）知在上是增函数，所以. 所以m的取值范围是. 【点睛】 本题考查对数型复合函数的单调性与奇偶性，考查不等式恒成立问题．不等式恒成立问题一般用分离参数法转化为求函数的最值．

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