题目

如图，抛物线 与 x 轴交于 A 、 B 两点，与 y 轴交于 C 点， ， ． （ 1 ）求抛物线的解析式； （ 2 ）在第二象限内的抛物线上确定一点 P ，使四边形 PBAC 的面积最大．求出点 P 的坐标 （ 3 ）在（ 2 ）的结论下，点 M 为 x 轴上一动点，抛物线上是否存在一点 Q ．使点 P 、 B 、 M 、 Q 为顶点的四边形是平行四边形，若存在．请直接写出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由． 答案： （ 1 ） ；（ 2 ）（ ， ）；（ 3 ）（ ， ）或（ ， ）或（ ， ） 【分析】 （ 1 ）根据 OB = OC =3 OA ， AC = ，利用勾股定理求出 OA ，可得 OB 和 OC ，得到 A ， B ， C 的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式； （ 2 ）判断出四边形 BACP 的面积最大时， △ BPC 的最大面积，过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 H ，求出直线 BC 的表达式，设点 P （ x ， - x 2 -2 x +3 ），利用三角形面积公式 S △ BPC = ，即可求出 S △ BPC 面积最小时点 P 的坐标； （ 3 ）分类讨论，一是当 BP 为平行四边形对角线时，二是当 BP 为平行四边形一边时，利用平移规律即可求出点 Q 的坐标． 【详解】 解：（ 1 ） ∵ OB = OC =3 OA ， AC = ， ∴ ，即 ， 解得： OA =1 ， OC = OB =3 ， ∴ A （ 1 ， 0 ）， B （ -3 ， 0 ）， C （ 0 ， 3 ），代入 中， 则 ，解得： ， ∴ 抛物线的解析式为 ； （ 2 ）如图，四边形 PBAC 的面积 =△ BCA 的面积 +△ PBC 的面积， 而 △ ABC 的面积是定值，故四边形 PBAC 的面积最大，只需要 △ BPC 的最大面积即可， 过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 H ， ∵ B （ -3 ， 0 ）， C （ 0 ， 3 ），设直线 BC 的表达式为 y = mx + n ， 则 ，解得： ， ∴ 直线 BC 的表达式为 y = x +3 ， 设点 P （ x ， - x 2 -2 x +3 ），则点 H （ x ， x +3 ）， S △ BPC = = = ， ∵ ，故 S 有最大值，即四边形 PBAC 的面积有最大值， 此时 x = ，代入 得 ， ∴ P （ ， ）； （ 3 ）若 BP 为平行四边形的对角线， 则 PQ ∥ BM ， PQ = BM ， 则 P 、 Q 关于直线 x =-1 对称， ∴ Q （ ， ）； 若 BP 为平行四边形的边， 如图， QP ∥ BM ， QP = BM ， 同上可得： Q （ ， ）； 如图， BQ ∥ PM ， BQ = PM ， ∵ 点 Q 的纵坐标为 ，代入 中， 解得： 或 （舍）， ∴ 点 Q 的坐标为（ ， ）； 如图， BP ∥ QM ， BP = QM ， ∵ 点 Q 的纵坐标为 ，代入 中， 解得： （舍）或 ， ∴ 点 Q 的坐标为（ ， ）； 综上：点 Q 的坐标为（ ， ）或（ ， ）或（ ， ）． 【点睛】 本题是二次函数综合题，考查了二次函数的有关性质、一次函数的性质、平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

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