题目

某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出现红灯和绿灯的概率都是，从开关第二次闭合起，若前次出现红灯,则下次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是；若前次出现绿灯，则下次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是，记开关第n次闭合后出现红灯的概率为。 (1)求： ；                (2)求证：； 答案：解：(1)第二次闭合后出现红灯的概率P2的大小决定于两个互斥事件：即第一次红灯后第二次又是红灯；第一次绿灯后第二次才是红灯。于是P2=P1·+(1－P1)·=。       …………（4分） (2)受(1)的启发，研究开关第N次闭合后出现红灯的概率Pn，要考虑第n－1次闭合后出现绿灯的情况，有 Pn=Pn－1·+(1－Pn－1)·=－Pn－1+， 再利用待定系数法：令Pn+x=－(Pn－1+x)整理可得x=－ ∴{Pn－}为首项为(P1－)、公比为(－)的等比数列 Pn－=(P1－)(－)n－1=(－)n－1，Pn=+(－)n－1 ∴当n≥2时，Pn<+=                

查看本题答案和解析