题目

已知 O 为坐标原点，直线 l ： y ＝﹣ x ＋ 2 与 x 轴、 y 轴分别交于 A 、 C 两点，点 B （ 4 ， 2 ）关于直线 l 的对称点是点 E ，连接 EC 交 x 轴于点 D ． （ 1 ）求证： AD ＝ CD ； （ 2 ）求经过 B 、 C 、 D 三点的抛物线的函数表达式； （ 3 ）当 x ＞ 0 时，抛物线上是否存在点 P ，使 S △ PBC ＝ S △ OAE ？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明理由． 答案： （ 1 ）见解析；（ 2 ） y= x 2 x+2 ；（ 3 ） P 的坐标（ ， 0 ）、（ ， 0 ）或（ ， 4 ）． 【分析】 （ 1 ）根据已知条件求出 A 、 C 的坐标，得到 ∥ ， ，结合点 B （ 4 ， 2 ）关于直线 l 的对称点是点 E ，得到 ，则 ，从而得到 ，即可证 AD ＝ CD ； （ 2 ）根据点 B （ 4 ， 2 ）关于直线 l 的对称点是点 E ，求出 E （ ， ），得到直线 CE 的解析式，又 D 点在 x 轴上，求出 D （ ， 0 ），设经过 B 、 C 、 D 三点的抛物线的函数表达式为 ，将 B （ 4 ， 2 ）， D （ ， 0 ）， C （ 0 ， 2 ）代入即得抛物线的解析式； （ 3 ）分别计算 S △ PBC 和 S △ OAE ，利用 S △ PBC ＝ S △ OAE 列方程，求出 P 点的纵坐标，再代入抛物线得到 P 点的横坐标，即可求出 P 点的坐标． 【详解】 （ 1 ）证明： ∵ 直线 l ： y ＝﹣ x ＋ 2 与 x 轴、 y 轴分别交于 A 、 C 两点， B （ 4 ， 2 ）， ∴ A （ 4 ， 0 ）， C （ 0 ， 2 ） ∴ ∥ ∴ ∵ 点 B （ 4 ， 2 ）关于直线 l 的对称点是点 E ， ∴ ∴ ∴ ∴ AD ＝ CD （ 2 ）解：设 OD=m ，由对称可得 CE=BC=4 ， AE=AB=OC=2 ， ∠AED=∠B=90° ， ∴CD=AD=4-m ， 在 Rt△OCD 中， OD 2 +OC 2 =CD 2 ， ∴m 2 +2 2 = （ 4-m ） 2 ， ∴m= ， ∴D （ ， 0 ）， 设经过 B 、 C 、 D 三点的抛物线的函数表达式为： y=ax 2 +bx+c ， 把 B （ 4 ， 2 ）， C （ 0 ， 2 ）， D （ ， 0 ）代入得： ， 解得 ∴ 经过 B ， C ， D 三点的抛物线的函数表达式为： y= x 2 x+2 ； （ 3 ）存在，理由如下： ∴ ∴ 解得 或 又 x ＞ 0 当 时，代入 y= x 2 x+2 ，得 ， 当 时，代入 y= x 2 x+2 ，得 ， （舍去） 综上， P 的坐标（ ， 0 ）、（ ， 0 ）或（ ， 4 ） 【点睛】 本题是二次函数与几何的综合题．需要大量的计算过程，找准关键点进行计算是本题的关键，一般出现在压轴题中，难度较大．

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